جواب کاردرکلاس صفحه 78 ریاضی دوازدهم

حل تمرین کار در کلاس صفحه 78 ریاضی دوازدهم برای اینکه تابع $g(x)$ در نقطه‌ای مانند $x=1$ **مشتق‌پذیر** باشد، ابتدا باید در آن نقطه **پیوسته** باشد. ### 1. بررسی پیوستگی در $x = 1$ برای پیوستگی، باید حد چپ، حد راست و مقدار تابع در نقطه برابر باشند: $\lim_{x \to 1^-} g(x) = \lim_{x \to 1^+} g(x) = g(1)$. 1. **حد چپ ($x \to 1^-$):** از ضابطه $x^2$ استفاده می‌شود. $$\lim_{x \to 1^-} g(x) = \lim_{x \to 1^-} x^2 = (1)^2 = 1$$ 2. **حد راست ($x \to 1^+$):** از ضابطه $x + 1$ استفاده می‌شود. $$\lim_{x \to 1^+} g(x) = \lim_{x \to 1^+} (x + 1) = 1 + 1 = 2$$ 3. **مقدار تابع:** از ضابطه $x^2$ استفاده می‌شود (چون $x \le 1$). $$g(1) = 1^2 = 1$$ **نتیجه پیوستگی:** چون حد چپ ($1$) و حد راست ($2$) با هم **برابر نیستند** ($\mathbf{1 \ne 2}$)، تابع $g(x)$ در $x=1$ **ناپیوسته** است. (همانطور که در نمودار، یک **جهش عمودی** از نقطه $(1, 1)$ به $(1, 2)$ دیده می‌شود.) ### 2. نتیجه‌گیری در مورد مشتق‌پذیری $$\mathbf{\text{پاسخ:}} \text{ شرط لازم برای مشتق‌پذیری یک تابع در یک نقطه، پیوستگی تابع در آن نقطه است.}$$ $$\text{چون تابع } g(x) \text{ در } x=1 \text{ ناپیوسته است، بنابراین } \mathbf{g'(1) \text{ موجود نیست.}}$$